作者简介: 王健，山东大学教授，研究领域为微扰量子场论与对撞机唯象学。
文章导读: 2021 年 Chin. Phys. C 第 12 期封面文章给大家带来的是顶夸克的理论计算最新进展。文章中采用了求解微分方程中的常数变易法，该方法的操作比较简单，最后得到的表达式也比较简洁。最终，文章指出顶夸克产生过程的两圈 Feynman 积分可以表示成一种多对数函数的线性组合形式，作者还通过数值计算来验证了该解析结果的正确性。
一、顶夸克和粒子物理标准模型
粒子物理标准模型成功描述了基本粒子之间除引力之外的三种基本相互作用——电磁、强和弱相互作用，并经受了大量的实验检验。但是，标准模型远不是终极理论，有相当一部分理论问题和实验现象都无法在这个框架下得到很好的解决，例如著名的规范等级问题以及暗物质现象等等。人们因此相信，标准模型只是某种更为基本的完整理论的一种近似形式。目前，对标准模型进行精确检验，以寻找任何可能指向新物理的信号，是当前粒子物理研究领域中非常重要的任务。
图 1. 粒子物理标准模型中的基本粒子。图中分为四个区域，分别是物质世界最主要的组分——夸克 (红色区域，有三代六种，分别为上 u、下 d、粲 c、奇异 s、顶 t、底 b) 与轻子 (蓝绿色区域，也有三代六种，分别为电子 e、电子中微子 νe、缪子 μ、缪子中微子 νμ、陶子 τ、陶子中微子 ντ); 此外还有传递相互作用力的规范玻色子，分别是传递电磁相互作用的规范玻色子——光子 (γ)，传递弱相互作用的规范玻色子 (Z, W) 以及传递强相互作用的规范玻色子——胶子 (g); 图中位于中心灰色部分的则是著名的希格斯玻色子 (H)，其与物质粒子 (包括夸克与轻子) 的汤川 (Yukawa) 相互作用给出了物质质量起源。(图片来源于网络)
于 1995 年在 Tevatron 实验中由 CDF 和 D0 合作组发现的顶夸克是人们发现的最后一种夸克。它与底夸克共同组成了第三代夸克，在标准模型的框架下人们预期它同前两代上型夸克一样有着差不多的量子数，然而实验表明顶夸克是粒子物理标准模型中的 “大胖子”，其质量相当于 172 个质子，比次重的底夸克重了 30 多倍。如此大的质量与标准模型中的电弱对称性破缺能标非常地接近，因此人们猜测顶夸克可能在电弱对称性破缺中扮演了相当重要的角色，因此从实验上精确检验顶夸克与其它基本粒子的耦合常数可以帮助我们发现新物理的蛛丝马迹。
图 2. 发现顶夸克的 Tevatron 实验，位于隶属于美国国家能源部的美国费米国家加速器实验室 (简称费米实验室)。(图片来源见水印)
二、顶夸克的实验测量和理论计算
在强子对撞机上，顶夸克不仅可以通过强相互作用成对产生，也可以通过弱相互作用单个产生。在单个产生过程中，根据其中 W 玻色子的不变质量，又可分为 t-道，s-道以及 tW 联合产生道。由于单顶夸克产生过程的截面正比于顶夸克的电弱耦合常数的平方，因此人们可以利用对该截面的测量来精确测量顶夸克的电弱耦合系数，特别是其中的 Cabibbo-Kobayashi-Maskawa 矩阵元 Vtb。在本文的工作中，作者们主要关注 tW 联合产生道，因为该产生道在欧洲核子中心 (CERN) 的大型强子对撞机 LHC 上的产生截面比较大，并且目前人们已经明确观测到该信号。
理论上，人们已经实现了在量子色动力学 QCD 次领头阶对 tW 道的产生截面的精确计算，其所有阶软胶子重求和效应也在近期计算出来。这些结果均表明更高阶辐射修正效应依然是很显著的。在未来，随着 LHC 积累的实验数据不断增加，实验结果的精度也进一步提升，这要求理论方面预言也应达到相同或者更好的精度，因此人们需要考虑 QCD 次次领头阶计算带来的贡献。但是，由于该过程涉及的能量标度较多，其对应的两圈费曼图的计算极具挑战性，因此人们目前还没有得到完整的 QCD 次次领头阶的理论预言。在这篇文章中，作者们目标是向攻克该难题迈出第一步。
图 3. 强子对撞机上 tW 联合产生过程的双圈 Feynman 图之一。其中加粗线是有质量的费米子线，它的存在显著增加了该图解析计算的难度。
三、顶夸克的 Feynman 图计算
过去一二十年间，人们对散射振幅的数学结构有了更加深刻的认识，并相应地发展了一些新的处理多圈费曼图的方法，从而使得很多以前无法完成的计算慢慢地能够实现。近年来，人们重点关注的是微分方程方法，其避免了直接积分，并能将复杂的积分问题转换成较为简单的求解偏微分方程的问题，这一思路上的转变大大降低了对散射振幅的计算难度。但是正如 “天下没有免费的午餐” 所说的那样，该方法的一个重要步骤是将偏微分方程写成一种所谓的正则形式，在这种形式下，人们可以利用一些特殊的数学结构更快地得到解析结果。相应地，人们针对这个方法开发了一些特殊的程序，用以实现自动地将一般的微分方程转化成这种特殊的正则微分方程形式，但在实际使用中，这个重要的步骤的实现始终不是什么方便的事情。而在本文中，作者们采用了求解微分方程中常用的常数变易法，首先在四维时空来求解得到的微分方程，然后回到 D 维时空，就得到了该微分方程正则形式。该方法操作比较简单，最后得到的表达式也比较简洁。然后，作者们再根据一些物理上的要求，例如在一些特殊参数点积分应该不存在奇点，来得到微分方程的边界条件。最后，作者们把两圈费曼积分的结果表示成一种多对数函数线性组合的形式，并且作者们还通过数值计算来验证解析结果的正确性。然而为了计算完整 QCD 次次领头阶结果，作者们指出这里还需要计算剩下的两圈费曼图以及实发射量子修正，这也正是作者们未来的工作计划之一。